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This book is a collection of solved exercises in convex analysis and optimization. It is organized as follows: Section 1 reviews some mathematical background from linear algebra and differential calculus. Section 2 deals with unconstrained minimization problems. Section 3 deals with constrained minimization problems.

Nom:optimisation et analyse convexe
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Licence:Usage Personnel Seulement
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We consider dynamical systems composed of several bodies with a finite number of degrees of freedom: rigid bodies, or deformable bodies which are spatial approximations of continuous models. Friction between bodies is modelled using a classical formulation of Coulomb's law.

After time discretization or quasi-static approximation , we get at each time step a problem containing complementarity equations posed on a product of second order cones, plus other equations. Several methods have been proposed in the literature for different equivalent formulations of this problem, in particular by Moreau, Alart and Curnier, and De Saxcé.

Considering the complementarity equations as optimality conditions KKT of an optimization problem, we propose a new equivalent reformulation as a parametric convex minimization problem coupled with a fixed point problem. Thanks to this viewpoint, we prove the existence of solutions under a quite mild assumption which can be checked in practice. Moreover, we can practically compute one of these solutions by solving numerically the fixed point equation.

The performance of this approach is compared with existing methods. Résumé : L'objectif de ce travail est de proposer une nouvelle approche pour la résolution du problème de contact unilatéral avec frottement de Coulomb tridimensionnel en mécanique des solides.

On s'intéresse à des systèmes dynamiques composés de plusieurs corps possédant un nombre fini de degrés de liberté: rigides, ou déformables qui sont des approximations spatiales de modèles continus.

Le frottement entre les corps est modélisé en utilisant une formulation classique de la loi de Coulomb. Après discrétisation en temps ou approximation quasi-statique , on obtient à chaque pas de temps un problème contenant des équations de complémentarité sur un produit de cônes du second ordre, et d'autres équations.

Plusieurs méthodes de résolution ont été proposées pour différentes formulations équivalentes de ce problème, en particulier par Moreau, Alart et Curnier, et De Saxcé. En considérant les équations de complémentarité comme celles des conditions d'optimalité KKT d'un problème d'optimisation, on propose une reformulation équivalente nouvelle sous forme d'un problème de minimisation paramétrique convexe couplé avec un problème de point fixe.

Grâce à ce point de vue, on démontre l'existence de solutions sous une hypothèse assez faible, et vérifiable en pratique. De plus, on peut souvent calculer effectivement l'une de ces solutions en résolvant numériquement l'équation de point fixe. Les performances de cette approche sont comparées à celles des méthodes existantes.

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